Tilastot
Kombinatoriikkalaskin
Laske kertoma (n!), kombinaatiot C(n,k) ja permutaatiot P(n,k). Käytetään tarkka BigInt-aritmetiikka, joten myös suuret luvut näkyvät kokonaisuudessaan.
Kombinatoriikan perusteet
Kombinatoriikka on matematiikan haara, joka tutkii järjestelyjen ja valintojen lukumääriä. Tärkeimmät käsitteet ovat kertoma, permutaatio ja kombinaatio.
Kertoma (n!)
n! = 1 × 2 × 3 × ... × n, 0! = 1
Kertoma kasvaa erittäin nopeasti: 5! = 120, 10! = 3 628 800, 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸. Tämän takia kertoma-laskuissa tarvitaan suuria kokonaislukutyyppejä (BigInt).
Permutaatio P(n,k)
P(n,k) = n! / (n−k)!
Kuinka monella tavalla voi järjestää k alkiota n:stä, kun järjestys merkitsee? Esim. 10 juoksijaa, kuinka monta tapaa jakaa kulta-, hopea- ja pronssimitalit? P(10,3) = 10! / 7! = 720.
Kombinaatio C(n,k)
C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!)
Kuinka monta tapaa valita k alkiota n:stä, kun järjestys ei merkitse? Esim. Suomi-Lotto valitsee 7 numeroa 40:stä: C(40,7) = 18 643 560.
Käytännön esimerkkejä
- Pankkitilin PIN — 10⁴ = 10 000 mahdollisuutta (toistot sallittu)
- Korttipakka sekoitus — 52! ≈ 8 × 10⁶⁷ erilaista järjestystä
- Pizzan täytteet — 8 täytteestä mitkä tahansa 3 = C(8,3) = 56 erilaista pizzaa
- Vuoden viikonpäivät — 7 päivää, järjestys = 7! = 5040 tapaa
Usein kysyttyä
Mikä on kertoma?+
Kertoma n! on luonnollisten lukujen tulo 1:stä n:ään. Esim. 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Käytetään mm. järjestelyjen lukumäärän laskennassa.
Mikä ero on permutaatiolla ja kombinaatiolla?+
Permutaatiossa järjestys merkitsee, kombinaatiossa ei. 3 kirjaa hyllyssä — kuinka monta järjestystä? Permutaatio. Lottokoneen 7 numeroa 40:stä — Kombinaatio.
Miten kombinaatio lasketaan?+
C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). "Kuinka monta tapaa valita k alkiota n:stä, kun järjestys ei merkitse."
Mikä on 0!?+
0! = 1. Tämä saattaa tuntua oudolta, mutta se on matemaattinen sopimus, joka tekee monet kombinatoriikan kaavat yksinkertaisemmiksi. Tyhjässä tilassa on tasan yksi tapa olla.
Miten lasketaan Suomi-loton voittotodennäköisyys?+
C(40,7) = 18 643 560. Eli oikean rivin todennäköisyys on 1/18 643 560 ≈ 0,0000054%.
Aiheeseen liittyvät
Talous- ja arkilaskureita: Laskee.com →