Algebra
Kompleksilukulaskin
Laske kompleksiluvuilla. Yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku, plus moduli, argumentti ja konjugaatti.
Kompleksilukujen perusteet
Kompleksiluvut ovat lukujen luonnollinen laajennus. Reaaliluvut ovat riittävät arjen mittauksiin, mutta kun haluamme ratkaista yhtälön x² + 1 = 0, tarvitsemme imaginäärisen yksikön i, jolle i² = -1.
Kompleksiluku z = a + bi koostuu kahdesta osasta: reaaliosa a ja imaginäärisen osa b. Voit ajatella kompleksilukua kompleksitason pisteenä, missä a on x-koordinaatti ja b on y-koordinaatti.
Peruslaskut
Yhteen: (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i Vähennys: (a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i Kerto: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Jako: (a + bi)/(c + di) = ((ac+bd) + (bc−ad)i) / (c² + d²)
Polaarimuoto
Kompleksiluku voidaan ilmaista myös polaarimuodossa: z = r(cos θ + i sin θ), missä r on moduli ja θ on argumentti. Eulerin kaava antaa kompaktimman muodon: z = r·e^(iθ).
Sovelluksia
- Sähkötekniikka: impedanssin ja vaihtovirtapiirien analyysi
- Signaalinkäsittely: Fourier-muunnos, FFT
- Kvanttimekaniikka: aaltofunktiot
- Fraktaaligeometria: Mandelbrot-joukko
Usein kysyttyä
Mikä on kompleksiluku?+
Kompleksiluku on muotoa a + bi, missä a ja b ovat reaalilukuja ja i on imaginäärinen yksikkö (i² = -1). Esim. 3 + 4i.
Miksi kompleksilukuja tarvitaan?+
Kompleksiluvut laajentavat reaalilukuja. Niitä tarvitaan mm. sähkötekniikassa (vaihtovirta), kvanttimekaniikassa, signaalinkäsittelyssä ja matematiikan teoriassa.
Miten kompleksilukuja kerrotaan?+
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Käytä osittelulakia ja muista, että i² = −1.
Mikä on moduli ja argumentti?+
Moduli |z| = √(a² + b²) on kompleksiluvun pituus (kompleksitasossa). Argumentti arg(z) = atan2(b, a) on luvun kulma. Yhdessä ne määräävät polaarimuodon: z = |z|(cos θ + i sin θ).
Mikä on kompleksikonjugaatti?+
Luvun a + bi konjugaatti on a − bi. Sitä käytetään mm. jakolaskussa: tulos saadaan kertomalla osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla.
Aiheeseen liittyvät
Murtolukulaskin
Laske murtoluvuilla: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Sieventää automaattisesti.
Neliöjuurilaskin
Laske neliöjuuri, kuutiojuuri ja n-juuri tarkasti.
Yhtälönratkaisija
Ratkaise yhtälöt vaiheittain. 1. ja 2. asteen yhtälöt, diskriminantti ja vaiheittaiset välivaiheet.
Yhtälöryhmien ratkaisija
Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 2 tai 3 muuttujalla. Vaiheittainen Gaussin–Jordanin eliminointi.
Talous- ja arkilaskureita: Laskee.com →