Algebra
Yhtälöryhmien ratkaisija
Ratkaise yhtälöryhmä vaiheittain Gaussin–Jordanin eliminoinnilla. Tukee 2 ja 3 muuttujan yhtälöryhmiä — näyttää jokaisen rivioperaation.
Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisutavat
Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen on useita menetelmiä: sijoitusmenetelmä, eliminointimenetelmä, Gaussin eliminointi ja matriisi-menetelmä. Kaikki päätyvät samaan vastaukseen, mutta Gaussin eliminointi yleistyy parhaiten suurempiin yhtälöryhmiin.
Gaussin eliminoinnin idea
Yhtälöryhmä esitetään augmentoituna matriisina, ja siihen sovelletaan kolmea sallittua rivioperaatiota:
- Vaihtaa kaksi riviä keskenään
- Kertoa rivi nollasta poikkeavalla luvulla
- Lisätä yhden rivin monikerta toiseen riviin
Tavoitteena saadaan matriisi muotoon, jossa diagonaalilla on ykköset ja muualla nollat — silloin viimeinen sarake antaa ratkaisut suoraan.
Esimerkki: 2 muuttujaa
2x + y = 5 x − y = 1 Matriisina: [2 1 | 5] [1 −1 | 1] Ratkaisu: x = 2, y = 1
Mihin yhtälöryhmiä käytetään
- Fysiikka: piirit, voimien tasapaino, kineettiset järjestelmät
- Talous: tarjonta-kysyntä-tasapaino, portfolion optimointi
- Tietotekniikka: 3D-grafiikka, koneoppiminen
- Logistiikka: reititys, varastonhallinta, aikataulutus
Usein kysyttyä
Mitä lineaarinen yhtälöryhmä tarkoittaa?+
Lineaarinen yhtälöryhmä on kokoelma 1. asteen yhtälöitä, joissa esiintyvät samat muuttujat. Esim. 2x + y = 5 ja x − y = 1 muodostavat 2x2-yhtälöryhmän.
Mikä on Gaussin eliminointi?+
Klassinen menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen. Yhtälöryhmä esitetään matriisina, ja rivioperaatioilla muutetaan ylä-kolmiomuotoon. Tämä laskuri käyttää laajennettua versiota (Gauss-Jordan), joka tuottaa redusoidun rivimuodon.
Milloin yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua?+
Yhtälöryhmä on ristiriitainen, jos yhtälöt sisältävät keskenään ristiriidassa olevia ehtoja. Esim. x + y = 1 ja x + y = 2 ei voi olla yhtä aikaa totta.
Milloin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua?+
Kun yhtälöt ovat keskenään lineaarisesti riippuvia — yksi yhtälö on toisten yhdistelmä. Esim. 2x + 2y = 6 on sama kuin x + y = 3 kerrottuna kahdella.
Voiko laskea isompiakin yhtälöryhmiä kuin 3x3?+
Tämä laskuri tukee 2x2 ja 3x3 -yhtälöryhmiä. Isompiin yhtälöryhmiin tarvitaan matriisiohjelmistoja kuten WolframAlpha tai Octave.
Aiheeseen liittyvät
Murtolukulaskin
Laske murtoluvuilla: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Sieventää automaattisesti.
Neliöjuurilaskin
Laske neliöjuuri, kuutiojuuri ja n-juuri tarkasti.
Yhtälönratkaisija
Ratkaise yhtälöt vaiheittain. 1. ja 2. asteen yhtälöt, diskriminantti ja vaiheittaiset välivaiheet.
Logaritmilaskin
Laske logaritmi millä tahansa kannalla. Luonnollinen, kymmenkantainen ja kantaluvun muunnos.
Talous- ja arkilaskureita: Laskee.com →